O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.
Chamamos:
de fração;
a de numerador;
b de denominador.
Se a é múltiplo de b, então é um número natural.
Veja um exemplo: 8 - 2 A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2.
Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.
Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.
Divisibilidade por 2 Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.
Exemplos: 1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.
Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.
Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplo: 1800 é divisível por 4, pois termina em 00. 4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4. 1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4. 3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5 Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos: 1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.
Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos: 1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12). 3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).
Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplos: 1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000. 2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo: 2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.
Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos: 1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.
Divisibilidade por 11 Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
Exemplos: 1) 87549 Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si-Sp = 22-11 = 11 Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.
2) 439087 Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10 Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 Si-Sp = 10-21 Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0. Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.
Divisibilidade por 12 Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplos: 1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20). 2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4). 3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).
Divisibilidade por 15 Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.
Exemplos: 1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5). 2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5). 3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).
Divisibilidade por 25 Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.
Exemplos: 200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.
Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.
Exemplos: 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
Observações: => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. => 2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.
Reconhecimento de um número primo Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos: => ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161:
não é par, portanto não é divisível por 2; 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.
2) O número 113:
não é par, portanto não é divisível por 2; 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3; não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.
Decomposição do número 24 num produto: 24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.
De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.
Regra prática para a fatoração Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo; 2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.
Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.
A numeração romana é um sistema de numeração que usa letras maiúsculas, as quais são atribuídos valores. Os algarismos romanos são usados principalmente:
Nos números de capítulos uma obra. Nas cenas de um teatro. Nos nomes de papas e imperadores. Na designação de congressos, olimpíadas, assembléias... Regras A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas, que correspondem aos seguintes valores:
Letras Valores I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000
Exemplos: XVI = 16; LXVI = 66.
Se à direita de uma cifra romana se escreve outra igual ou menor, o valor desta se soma ao valor da anterior.
Exemplos: VI = 6 XXI = 21 LXVII = 67
A letra "I" colocada diante da "V" ou de "X", subtrai uma unidade; a letra "X", precedendo a letra "L" ou a "C", lhes subtrai dez unidades e a letra "C", diante da "D" ou da "M", lhes subtrai cem unidades.
Exemplos: IV = 4 IX = 9 XL = 40 XC = 90 CD = 400 CM = 900
Em nenhum número se pode pôr uma mesma letra mais de três vezes seguidas. Antigamente se via as vezes a letra "I" ou a "X" até quatro vezes seguidas. Exemplos: XIII = 13 XIV = 14 XXXIII = 33 XXXIV = 34
A letra "V", "L" e a "D" não podem se duplicar porque outras letras ("X", "C", "M") representam seu valor duplicado.
Exemplos: X = 10 C = 100 M = 1.000
Se entre duas cifras quaisquer existe outra menor, o valor desta pertencerá a letra seguinte a ela.
Exemplos: XIX = 19 LIV = 54 CXXIX = 129
O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barras horizontais em cima dos mesmos.
O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.
ResponderExcluirChamamos:
de fração;
a de numerador;
b de denominador.
Se a é múltiplo de b, então é um número natural.
Veja um exemplo:
8
-
2
A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2, obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2.
Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.
Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de ?
ResponderExcluirUma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.
Exemplo: Roberval comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Roberval teria comido 3 partes:
.
Critérios de divisibilidade
ResponderExcluirPara alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade.
Divisibilidade por 2
Divisibilidade por 2
ResponderExcluirUm número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.
Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4.
Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3.
Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplos:
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.
Divisibilidade por 11
ResponderExcluirUm número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
Exemplos:
1) 87549
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si-Sp = 22-11 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.
2) 439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si-Sp = 10-21
Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.
Divisibilidade por 12
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).
Divisibilidade por 15
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.
Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).
Divisibilidade por 25
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.
Exemplos:
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.
Números Primos
ResponderExcluirNúmeros primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.
Exemplos:
1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo.
2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo.
3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.
Observações:
=> 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo.
=> 2 é o único número primo que é par.
Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos.
Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.
Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos:
=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.
Exemplos:
1) O número 161:
não é par, portanto não é divisível por 2;
1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.
2) O número 113:
não é par, portanto não é divisível por 2;
1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo
Decomposição em fatores primos
ResponderExcluirTodo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.
Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.
De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior
que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.
Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.
Máximo Divisor Comum
ResponderExcluirDois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.
O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.
Alguns exemplos:
mdc (6,12) = 6
mdc (12,20) = 4
mdc (20,24) = 4
mdc (12,20,24) = 4
mdc (6,12,15) = 3
CÁLCULO DO M.D.C.
Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.
1) decompomos os números em fatores primos;
2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.
Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90:
36 = 2 x 2 x 3 x 3
90 = 2 x 3 x 3 x 5
O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3
Portanto m.d.c.(36,90) = 18.
Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos:
36 = 22 x 32
90 = 2 x 32 x5
Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.
Algarismos Romanos
ResponderExcluirA numeração romana é um sistema de numeração que usa letras maiúsculas, as quais são atribuídos valores. Os algarismos romanos são usados principalmente:
Nos números de capítulos uma obra.
Nas cenas de um teatro.
Nos nomes de papas e imperadores.
Na designação de congressos, olimpíadas, assembléias...
Regras
A numeração romana utiliza sete letras maiúsculas, que correspondem aos seguintes valores:
Letras Valores
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000
Exemplos: XVI = 16; LXVI = 66.
Se à direita de uma cifra romana se escreve outra igual ou menor, o valor desta se soma ao valor da anterior.
Exemplos:
VI = 6
XXI = 21
LXVII = 67
A letra "I" colocada diante da "V" ou de "X", subtrai uma unidade; a letra "X", precedendo a letra "L" ou a "C", lhes subtrai dez unidades e a letra "C", diante da "D" ou da "M", lhes subtrai cem unidades.
Exemplos:
IV = 4
IX = 9
XL = 40
XC = 90
CD = 400
CM = 900
Em nenhum número se pode pôr uma mesma letra mais de três vezes seguidas. Antigamente se via as vezes a letra "I" ou a "X" até quatro vezes seguidas.
Exemplos:
XIII = 13
XIV = 14
XXXIII = 33
XXXIV = 34
A letra "V", "L" e a "D" não podem se duplicar porque outras letras ("X", "C", "M") representam seu valor duplicado.
Exemplos:
X = 10
C = 100
M = 1.000
Se entre duas cifras quaisquer existe outra menor, o valor desta pertencerá a letra seguinte a ela.
Exemplos:
XIX = 19
LIV = 54
CXXIX = 129
O valor dos números romanos quando multiplicados por mil, colocam-se barras horizontais em cima dos mesmos.
Tabela de números romanos (de 1 até 1449)
ResponderExcluir1 = I
2 = II
3 = III
4 = IV
5 = V
6 = VI
7 = VII
8 = VIII
9 = IX
10 = X
11 = XI
12 = XII
13 = XIII
14 = XIV
15 = XV
16 = XVI
17 = XVII
18 = XVIII
19 = XIX
20 = XX
21 = XXI
22 = XXII
23 = XXIII
24 = XXIV
25 = XXV
26 = XXVI
27 = XXVII
28 = XXVIII
29 = XXIX
30 = XXX
31 = XXXI
32 = XXXII
33 = XXXIII
34 = XXXIV
35 = XXXV
36 = XXXVI
37 = XXXVII
38 = XXXVIII
39 = XXXIX
40 = XL
41 = XLI
42 = XLII
43 = XLIII
44 = XLIV
45 = XLV
46 = XLVI
47 = XLVII
48 = XLVIII
49 = XLIX
50 = L
51 = LI
52 = LII
53 = LIII
54 = LIV
55 = LV
56 = LVI
57 = LVII
58 = LVIII
59 = LIX
60 = LX
61 = LXI
62 = LXII
63 = LXIII
64 = LXIV
65 = LXV
66 = LXVI
67 = LXVII
68 = LXVIII
69 = LXIX
70 = LXX
71 = LXXI
72 = LXXII
73 = LXXIII
74 = LXXIV
75 = LXXV
76 = LXXVI
77 = LXXVII
78 = LXXVIII
79 = LXXIX
80 = LXXX
81 = LXXXI
82 = LXXXII
83 = LXXXIII
84 = LXXXIV
85 = LXXXV
86 = LXXXVI
87 = LXXXVII
88 = LXXXVIII
89 = LXXXIX
90 = XC
91 = XCI
92 = XCII
93 = XCIII
94 = XCIV
95 = XCV
96 = XCVI
97 = XCVII
98 = XCVIII
99 = XCIX
100 = C
101 = CI
102 = CII
103 = CIII
104 = CIV
105 = CV
106 = CVI
107 = CVII
108 = CVIII
109 = CIX
110 = CX
111 = CXI
112 = CXII
113 = CXIII
114 = CXIV
115 = CXV
116 = CXVI
117 = CXVII
118 = CXVIII
119 = CXIX
120 = CXX
121 = CXXI
122 = CXXII
123 = CXXIII
124 = CXXIV
125 = CXXV
126 = CXXVI
127 = CXXVII
128 = CXXVIII
129 = CXXIX
130 = CXXX
131 = CXXXI
132 = CXXXII
133 = CXXXIII
134 = CXXXIV
135 = CXXXV
136 = CXXXVI
137 = CXXXVII
138 = CXXXVIII
139 = CXXXIX
140 = CXL
141 = CXLI
142 = CXLII
143 = CXLIII
144 = CXLIV
145 = CXLV
146 = CXLVI
147 = CXLVII
148 = CXLVIII
149 = CXLIX
150 = CL
151 = CLI
152 = CLII
153 = CLIII
154 = CLIV
155 = CLV
156 = CLVI
157 = CLVII
158 = CLVIII
159 = CLIX
160 = CLX
161 = CLXI
162 = CLXII
163 = CLXIII
164 = CLXIV
165 = CLXV
166 = CLXVI
167 = CLXVII
168 = CLXVIII
169 = CLXIX
170 = CLXX
171 = CLXXI
172 = CLXXII
173 = CLXXIII
174 = CLXXIV
175 = CLXXV
176 = CLXXVI
177 = CLXXVII
178 = CLXXVIII
179 = CLXXIX
180 = CLXXX
181 = CLXXXI
182 = CLXXXII
183 = CLXXXIII
184 = CLXXXIV
185 = CLXXXV
186 = CLXXXVI
187 = CLXXXVII
188 = CLXXXVIII
189 = CLXXXIX
190 = CXC
191 = CXCI
192 = CXCII
193 = CXCIII
194 = CXCIV
195 = CXCV
196 = CXCVI
197 = CXCVII
198 = CXCVIII
199 = CXCIX
200 = CC
201 = CCI
202 = CCII
203 = CCIII
204 = CCIV
205 = CCV
206 = CCVI
207 = CCVII
208 = CCVIII
209 = CCIX
210 = CCX
211 = CCXI
212 = CCXII
213 = CCXIII
214 = CCXIV
215 = CCXV
216 = CCXVI
217 = CCXVII
218 = CCXVIII
219 = CCXIX
220 = CCXX
221 = CCXXI
222 = CCXXII
223 = CCXXIII
224 = CCXXIV
225 = CCXXV
226 = CCXXVI
227 = CCXXVII
228 = CCXXVIII
229 = CCXXIX
230 = CCXXX
231 = CCXXXI
232 = CCXXXII
233 = CCXXXIII
234 = CCXXXIV
235 = CCXXXV
236 = CCXXXVI
237 = CCXXXVII
238 = CCXXXVIII
239 = CCXXXIX
240 = CCXL
241 = CCXLI
242 = CCXLII
243 = CCXLIII
244 = CCXLIV
245 = CCXLV
246 = CCXLVI
247 = CCXLVII
248 = CCXLVIII
249 = CCXLIX
250 = CCL
251 = CCLI
252 = CCLII
253 = CCLIII
254 = CCLIV
255 = CCLV
256 = CCLVI
257 = CCLVII
258 = CCLVIII
259 = CCLIX
260 = CCLX
261 = CCLXI
262 = CCLXII
263 = CCLXIII
264 = CCLXIV
265 = CCLXV
266 = CCLXVI
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270 = CCLXX
271 = CCLXXI
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276 = CCLXXVI
277 = CCLXXVII
278 = CCLXXVIII
279 = CCLXXIX
280 = CCLXXX
281 = CCLXXXI
282 = CCLXXXII
283 = CCLXXXIII
284 = CCLXXXIV
285 = CCLXXXV
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289 = CCLXXXIX
290 = CCXC
291 = CCXCI
292 = CCXCII
293 = CCXCIII
294 = CCXCIV
295 = CCXCV
296 = CCXCVI
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298 = CCXCVIII
299 = CCXCIX
300 = CCC